簡単に逆三角関数の三角関数を求める方法。

数式いじっているうちに出てきた面白い結果を公開したくなったので、ブログを始めることにしました。それ以上の理由は特にありません。
ブログを始めた理由からして長続きしそうなものではありませんが、少しでも多くの人の役にたってもらえればなぁと思います。

では早速本題です。
みなさんは下記のような形の数式に出会ったことが無いでしょうか？

\sin(\arctan(x))

私はそこそこの頻度でこのような数式を見ている気がします。
こういった三角関数のなかに逆三角関数があるような式は以下のように変形することができます。

\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}

どうでしょうか、どうしてこうなるか分かりますか？
今回は証明をしませんが、気が向いたら書きたいとおもいます。

別にこれだけならば丸暗記すればいいのですが、他にも以下のようなバリエーションがあります。

\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}

\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^{2}}

\tan(\arcsin(x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}

\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^{2}}

\tan(\arccos(x))=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}

はい、普通の方法ではとても覚えられません。

ですが、ある方法を使えば簡単に覚えることができます。
ここで登場してもらうのが高校の時に習うであろう三角関数の定義の覚え方です。

sの筆記体の書き始めが分母で、終わりのほうが分子みたいな覚え方ですね。

これをどう使うかというと下の図のような感じに使います。

流れとしてはarctanだったらtanの分母の所に1を書き込み、分子の所にxを書き込む。
余ったところにはピタゴラスの定理を使って求めた式を書き込む。簡単ですね。
あとはこれをsinの書き順に沿って取り出すだけです。この場合だと分母の位置にあるのは\sqrt{1+x^{2}}で、分子の位置にあるのがxですから、 \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}という形になるわけですね。

他のパターンでも上手くいきますので。練習して是非使えるようになって下さい。